Anhang
 
 
 
Äquivalenzklassen zurück

Behauptung: Sei R A x A eine Äquivalenzrelation über A2 und sei a A. Dann heißt | a | def= { b | < a, b > R } Äquivalenzklasse von a und für alle c A gilt dann: Entweder | c | = | a | (falls < c, a > R) oder | c | ∩ | a | = . Darüber hinaus ist die Vereinigung aller Äquivalenzklassen äquivalent zu A.

Beweis: Zunächst stellen wir fest, dass, da R eine Menge ist, entweder < a, c > R oder < a, c > R. Wir haben also zwei Fälle zu unterscheiden:

1. Sei < a, c > R (also gilt auch, da R symmetrisch ist, < c, a > R). Sei nun b | a | ein beliebiges (!) Element aus | a | iff < a, b > R und < b, a > R. Dann gilt aber, da R transitiv ist, < b, c > R und < c, b > R, insgesamt also: b | c |. Genau die gleiche Überlegung kann für beliebige Elemente d | c | angestellt werden. Also gilt unter genannter Voraussetzung (da R zudem reflexiv ist) | a | = | c |.

2. Sei nun < a, c > R. Angenommen nun, | a | ∩ | c | ≠ { }. Es existiere nun (im Widerspruch zur Behauptung) ein b, mit b | a | und b | c |. Dann gilt aber: < a, b > R und < b, c > R. Wegen der Transitivität von R folgt dann im Widerspruch zur Annahme, dass < a, c > R. Also gilt unter genannter Voraussetzung: | a | ∩ | c | = { }.

Ferner ist die Vereinigung aller Äquivalenzklassen äquivalent zum Universum A, denn zu jedem Element aus A existiert genau eine Äquivalenzklasse (da R reflexiv ist).

 
Anmerkungen zu Satz 2.2.2 zurück

Der Satz 2.2.2 soll hier nicht bewiesen werden. Um Teil (1) des Satzes zu beweisen, zeigt man, dass mit a ≤ b iff a b = a eine Ordnungsrelation gegeben ist, das heißt dass ≤ unter den genannten Bedingungen reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Für die Reflexivität haben wir also etwa zu zeigen, dass in Verbänden stets die Beziehung a a = a gilt. Dies folgt unmittelbar mit Hilfe der Absorptionsgesetze (und der Kommutativität), denn

(( a b ) a ) a = a iff

                     a a = a, daraus folgt:

                           a ≤ a

Das heißt ich ersetze den geklammerten Ausdruck gemäß Absorptionsgesetz (ganz analog zeigt man, dass a a = a). Da wir nun aber wissen, dass unter den gemachten Voraussetzungen stets b ≤ b für beliebige b gilt, wissen wir zugleich, dass a b = a iff a b = b, denn: (1) sei a b = a, dann gilt: ( a b ) b = b iff a b = b. (2) gelte umgekehrt a b = a, dann gilt: ( a b ) a = a iff b a = a iff a b = a. Wegen der Reflexivität von ≤ folgt aus a ≤ b weiterhin: inf ( a, b ) = a und sup ( a, b ) = b, womit auch die Existenz von Infimum und Supremium "gezeigt" wäre.

Der zweite Teilsatz wird dadurch bewiesen, dass man die Eigenschaften der Kommutativität, Assoziativität und Absorption für sup und inf aufzeigt.

Auf diesen Überlegungen aufbauend, können wir einfach folgern, dass in Booleschen Algebren folgendes gilt: a a = und a a = . Denn die dritte definitorische Eigenschaft legt für Boolesche Algebren gerade fest, dass stets die Beziehungen ( a a ) b = b und ( a a ) b = b gelten. Also gilt auf Grundlage von Satz 2.2.2 für die verbandsgeordnete Menge, die der betrachteten Booleschen Algebra entspricht (Boolesche Algebren sind Verbände mit bestimmten Eigenschaften!): b ≤ a a und a a ≤ b für alle b des betrachteten Universums. Zurück zu Satz 2.2.2